摘要
數值計算是應用數學的1個重要分支，線性方程組的求解是數值計算中的1個重要部分，雅可比（Jacobi）迭代法和高斯-塞德爾（Gauss-Seidel）迭代法又是線性方程組的數值求解常用的方法。本文就嚴格對角佔優矩陣這1類矩陣分別用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法進行求解，並對兩種迭代法的收斂性進行比較，得到Gauss-Seidel迭代法的收斂速度比Jacobi迭代法的收斂速度快。
關鍵詞：Jacobi；Gauss-Seidel；收斂性；譜半徑；嚴格對角佔優矩陣
A Comparison between the Astringency of two Iterations in A Matrix
Abstract
The numerical computation is an important branch of applied mathematics, while the solving of the system of linear equations is an important part of the numerical computation. And both the Jacobi Iteration and the Gauss –Seidel Iteration are the common numerical methods for the system of linear equations. This page separately uses the Jacobi Iteration and the Gauss –Seidel Iteration to solve the kind of matrix which is Strictly diagonally dominant matrix, and compares the convergence of the two iterations. Therefore, there is a result that convergence rate of Gauss –Seidel Iteration is faster than that of Jacobi Iteration.
Key word: Jacobi; Gauss-Seidel; convergence; spectral radius; Strictly diagonally dominant matrix
前 言
隨着科學技術的飛躍發展，矩陣計算的理論和方法與方程的求解已經成為科技領域處理數學問題的不可或缺的強大工具，它是計算數學的1個重要分支，同時它在系統工程穩定性理論等相關科學，特別是在計算科學中也得到了廣泛的`應用。
眾所周知，許多實際問題最後常常歸結為解1個或1些大型稀疏矩陣的線性方程組的求解問題，線性方程組的求解成為計算數學中數值代數研究的核心之1。
線性方程組的解法有兩種：迭代法和直接法。迭代法與直接法不同，對於1些特殊的方程組（如：大型稀疏矩方程組）用直接法就難於把方程組的解算出來，就需使用迭代法，迭代法不能通過有限次的算術運算求得方程組的精確解，而是逐步逼近它，即使每1步都用精確的算術運算，迭代法也只能得到近似解。雅可比（Jacobi）迭代法和高斯-塞德爾（Gauss-Seidel）迭代法是迭代法中的兩種。兩種迭代法的本質區別在於：Gauss-Seidel迭代不斷地運用新值替代舊值，而Jacobi迭代卻不是。在實際計算時，Gauss-Seidel迭代法的迭代格式比Jacobi迭代格式緊湊，並且只需要1套存放迭代向量單元。凡是迭代法都有收斂性與識差估計的問題，對於1個給定的方程組，某些迭代法收斂的快，而有些迭代法可能不收斂，或收斂的慢，以至於無實用價值。參考文獻[9]對Jacobi與Gauss-Seidel迭代法求解線性方程組收斂性作過比較與研究，他們給出對於簡單的2階方程組1些基本技巧，若Jacobi法與Gauss-Seidel法均發散，可交換其兩行求得其解。對1般方程組，給出1個應用性較強的定理，將方程 可以用Gauss-Seidel求得任何| |≠0方程組的解。本論文主要是利用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法針對1種類型矩陣的收斂性作了分析與比較，對於這類矩陣，Gauss-Seidel迭代法的收斂速度總是比Jacobi迭代法的收斂速度快的結論得到了驗證。