內容摘要：傳統的音樂研究，特別是民族音樂研究，絕大部分都側重於音樂的藝術性角度（音樂的社會屬性），鮮見有從音樂的科學性角度（音樂的自然屬性）進行研究的。但是，近年來隨着科學技術的快速發展，這一狀況正在逐步得到改觀。本文使用分形幾何的方法，對古琴音樂作品進行了分析研究，證明了古琴音樂的旋律是分形的，並且對古琴音樂作品與西方古典音樂作品的異同進行了初步的比較分析，揭示出不同時空、不同歷史文化背景下音樂的共同特徵——分形性。
關 鍵 詞：古琴音樂 分形幾何 音樂研究 方法 科學 分形音樂
一、引言
在我國傳統音樂中，古琴是最古老的絃樂器之一。《樂記》有“昔者舜作五絃之琴，以歌南風”之説。清代著名琴家徐祺在《五知齋琴譜》中寫道：“昔者伏曦之王天下也。仰觀俯察，感榮河出圖，以畫八卦，聽八風以制音律，採峯山孤桐，合陰備陽，造為雅樂，名之曰琴。”另外也有人説古琴是神農或堯帝等創制的。這些雖出自傳説，無文字記載或實據可考，但在安陽殷墟墓葬中出土的文物中有兩件像琴的石器，且甲骨文中把音樂的樂字記為“ ”，這是以絲絃張附在木器上的象形，由此説明在殷商時代（即甲骨文產生之際）就已有了琴這一類樂器，大概是可信的[1]。由此亦可推知古琴應產生於殷商之際甚或在此之前，即古琴已存在三千多年了。
對於這樣一件產生於史前，而且幾乎完整不變地流傳至今的樂器，不僅在中國，即便是在全世界範圍也難以再找到第二個！因此，對古琴尤其是古琴音樂進行詳細的考察與研究，不僅能夠揭示我國古代音樂的發展變化情況，而且亦可從中透視出我國古代社會政治、經濟和科技的發展與變化[2][3][4]。
對音樂進行研究，當今佔據主導地位的有三種方法，即歷史的方法、分析的方法和比較的方法[5]。這三種方法在音樂研究中已經取得了輝煌的成就，而且仍還有着非常廣闊的前景。但是，它們各自的研究範圍都比較狹小，或某一作品，或某一人某一派的作品，或某一時期的作品，或某一地域（或西方或東方或非洲或拉美）的作品，而不能從整體上研究範圍更廣的音樂現象。眾所周知，無論古今，不分地域，任何地方只要有人，就會有音樂，這就説明音樂必定有着某種屬性，它是一種與時空無關的非民族性的屬性，即音樂的自然屬性。可這種自然屬性究竟是什麼呢？怎樣才能將它表示出來呢？我們認為，分形幾何為這一問題的解答提供了一種可能[6][7]。
二、分形幾何與音樂
分形幾何[8]的概念是由曼得勃羅在上世紀60年代末提出來的。它的主要思想是説，在不規則現象表面所呈現的雜亂無章的背後仍存在着規律，這個規律就是在放大過程中呈現出的自相似性。
在自然界中，分形現象普遍存在，俯拾即得。如：微觀世界中晶體的生長，相變過程和化學反應等；宇觀世界中太陽黑子的活動和星際空間物質的分佈等；宏觀世界中河流的走向，樹枝的分叉以及地震震級的分佈等；就連我們人體血液循環系統中血管的分支和腦電波分佈都是分形的。也就是説，自然界似乎存在着“分形者生存”這一規律。
既然我們賴以生存的這個世界到處都充滿着分形，既然我們的血管分支和腦電波都是分形的，因而想必在我們的潛意識中（或者是本能地）對分形現象定會有着某種默契或產生共鳴，或者説我們人也偏愛分形，正是這種偏愛形成了音樂創作與欣賞在主體心理與對象間的鎖定。沃斯和科拉克[6]等人首先從實驗上證明了這一點，他們發現優美動聽的音樂的音量是分形的，後來許氏父子（許靖華和安得魯·許）[7]又從理論上證明了古典音樂中旋律的進行也是分形的。
三、古琴音樂中的分形幾何
為了研究音樂的分形幾何，首先必須把它加以量化，因此撇開音樂的社會學定義不講，現在我們從數學上給它下一個定義：音樂是具有不同音高（頻率）的音的一種有序排列。既然如此，那麼這種有序的數學表達是什麼？隨意地敲擊琴鍵不會產生音樂，不同音的有序排列組成了旋律，這種排列是分形的嗎？如果答案是肯定的話，那麼在一首音樂作品中兩相鄰音之間的音程 i 與其出現的概率 F 應滿足下述關係：
F = C/iD 或 logF=C’— Dlogi
即音程 i 的對數與其出現概率F的對數之間存在線性關係，也就是説以 logF 和 logi 為縱橫座標作圖，則各點均應在同一直線上。其中 D 為該作品的分形維數（分維），C 為比例係數，C’= logC。
許氏父子通過分析發現[8]，對於巴赫和莫扎特等古典音樂大師的作品，上述分形關係式均可確立，但對於現代無調性音樂作品，則無此種關係。為了對我國古代音樂進行深入的理解與研究，為了對東西方音樂的異同進行比較，下面我們也將使用這一方案對我國古琴音樂進行分析。
首先選取《古逸叢書》中管平湖打譜的《幽蘭》[9]進行分析。對該曲中音程 i 及其出現概率的統計結果如下表：
將音程 i 及其出現概率F分別取對數對應作圖可以看到（圖1A），在區間2≤i≤11，存在分形關係：
F = 3。80/i3。15
圖中與分形關係有較為顯著偏離的是i=7（純五度）和i=10（小七度）的過量。其實對於這種偏離也是不難理解的，根據和聲音程在聽覺上所產生的印象，音程可以分為協和音程與不協和音程兩類。兩音的頻率具有較小整數比的音程叫協和音程，屬於這一類的有極完全協和音程的純一度（1：1）和純八度（2：1）以及完全協和音程的純五度（3：2）和純四度（4：3）。所有這些音程聽起來都很悦耳，因而在優美的樂曲中協和音程出現的概率就較大，從而導致了對分形關係的偏離。類似的，由於不協和音程（小二度i=1，減五度i=6和大七度i=11等）在聽覺上給人的印象是比較刺耳，彼此很不融合，因而作曲家在創作時總是有意識地少用，這也就導致了與分形關係的偏離。
圖1B是巴赫《創意曲》No。1的旋律分形關係。人們曾評論説，巴赫的作品有着數學般的精確，如果這種精確是指在其作品分形關係成立嚴格程度的話，那麼把圖1A和圖1B相比較可以看出，古琴曲《幽蘭》有着較巴赫《創意曲》No。1更為精確的數學。《幽蘭》曲早《創意曲》千年而作，況中國與德國又相距萬里之遙，且又分屬東西方兩種不同的文化圈，何以二者都服從分形關係呢？難道這只是偶然的巧合嗎？
為了更深入地理解這一問題，我們對大量的.古琴曲[9]進行了統計分析，結果表明，絕大多數的樂曲中均存在着分形關係。特別是《陽春》和《華胥引》，它們有一個共同的特點是分形關係中的比例係數C＝1（即分形關係線延長與縱軸相交於O點），這與莫扎特的F大調《奏鳴曲》及A大調《奏鳴曲》完全一樣。一般認為，莫扎特的這兩首曲子有着圖畫般的絢麗，而古琴曲《陽春》和《華胥引》亦是音畫交融美妙無比。那麼，這種對應僅是種巧合呢還是有着尚未發現的更深刻的原因？
與西方古典音樂相比，古琴音樂有以下幾個特點。（1）同音重複和八度音出現的比例較大。究其原因，固然是因為同音重複（i=0）和八度音（i=12）屬於極完全協和音程，聽起來融合悦耳，但更主要的原因是古琴音樂大多來源於以民歌為基礎的琴歌，而民歌中同音重複的比例極大，這是一個帶有普遍性的規律，古今中外，概莫能外，如在莫扎特的取材於民歌而創作的A大調《奏鳴曲》的第一樂章中，同音重複的比例亦高達27％。（2）幾乎沒有半音（i=1）和三整音（i=6）。與西方音樂不同，我國古代音樂大多采用五聲調式或以五聲調式為基礎的六聲調式與七聲調式。在五聲調式中根本就沒有半音和三整音，六聲調式中由於清角和變宮音的加入導致半音的出現，七聲調式中更由於在五聲調式的小三度音程中加入了不同的“偏音”，從而導致除半音外又出現了三整音，但鑑於半音和三整音聽起來比較刺耳，而且演奏起來也不易把握，故而出現頻率較低。（3）小三度（i=3）的過量和大三度（i=4）的不足。眾所周知，由於漢語語言的音韻特點對音樂旋律的深刻影響，小三度在我國民族音階的發展過程中一直佔有重要的地位，即使今天，在我國民間勞動歌曲的呼號聲中，多數情況下小三度也還佔據主導地位，如京韻大鼓口語旋律在行腔時就呈現典型的三度音程特徵。所以説，小三度的過量是很自然的。大三度不足的原因同樣來源於古琴曲的調式，如在五聲調式中，大三度只能存在於宮音與角音之間，這樣在一首樂曲中，除非是有意地採用大三度音程，否則它一定是不足的。（4）複音程（i>12）出現的比例較大。西方古典音樂中複音程呈現的比例均在百分之一以內，而在古琴音樂中複音程呈現的比例則在百分之幾到百分之十幾不等。這種差別可能來自於東西方人的心智模式（思維方式與思維習慣）的不同。國人一般是從整體上看待和把握事物，喜歡那種寬闊宏大的場面；而西方人通常是從細微之處認識和掌握事物，他們喜歡那種細緻、嚴格、有確定界限的景觀。這種哲學上的認知差別反映在音樂中便造成了上述差異。
在分析中，我們還發現了一個不存在分形關係的例子，這就是著名的古曲《流水》。其實，出現這一現象也是不難理解的，為了模仿水流的自然響聲，為了表現流水的從容緩進和跌宕起伏，亦即為了表達流水的“洋洋乎”，曲作者過量地使用了小三度和純五度等音程，從而使得其他音程顯得相對不足，無法與其相匹配。但琴曲《流水》與西方現代無調性音樂（亦無分形關係存在）是不同的，在現代無調性音樂作品中，廣音程特別是某些不協和音程（如減五度）出現的概率很大，甚至超過了狹音程，但在《流水》一曲中狹音程出現的概率仍是最大的。
四、結論
音樂研究通常是從音樂的社會性（即社會歷史與民族文化）角度進行的。但是我們知道，音樂是一門藝術，也是一門科學。如何利用現代科學的成果進行音樂創作與音樂研究，是擺在音樂工作者面前的一個新問題。
本文利用分形幾何的特徵與方法，證明了古琴音樂中的旋律是分形的，並且對中外音樂作品的異同進行了初步的比較分析。是否可以利用這種方法進行完整的音樂形態（如和聲與織體等）分析呢？是否可以利用這種技術進行音樂作品的改編呢？進一步的研究表明答案是肯定的。
參考文獻：
[1]許健。琴史初編[M]。北京：人民音樂出版社，1982。
[2]章華英。古琴音樂與東方哲學[J]。中國音樂，1991（3）1。
[3]牛隴菲。古琴與鋼琴[J]。星海音樂學院學報，2001（4）11。
[4]史弘。手揮五絃心遊太玄[J]。中國音樂學，1995（2）52。
[5]楊燕迪。實證主義及其衰落——英美二次世界大戰後的音樂學發展略述。[J]。中國音樂學，1990（1）99。
[6]Voss，R。F。 & Clark，J。 1/f noise in music and speech[J]。Nature，1975，258：317。
[7]Hsu，K。J。 & Hsu，A。J。 Fractal geometry of music[J]。Proc。Natl。Acad－Sci。USA，1990，87：938。
[8]汪富泉、李後強。分形——大自然的藝術構造[M]。濟南：山東教育出版社，1996
[9]中央音樂學院中國音樂研究所、北京古琴研究會。古琴曲集（第一集）[M]。北京：音樂出版社，1962