摘要:數學問題是指不能用現成的數學經驗和方法解決的一種情景狀態。這裡所指的“問題”不是指那些與課本例題同類型的常規習題,而是指那些非常規性的或者條件不充分、結論不確定的開放性、探究性問題。這些問題不能直接套用現成公式獲得解決,而要調動所學知識系統,運用一定的思維策略,通過一定的思維過程逐步指向問題目標,使問題在探究中獲解。
關鍵詞:縷析問題;求解方案;問題解答;解題過程
數學問題的解決是一個複雜而連續的心理活動過程,其一般思維過程是:縷析問題資訊→確定求解方案→實施問題解答→反思解題過程,下面以例項加以分析。
一、縷析問題資訊
1.理清數學問題資訊。數學問題作為一種有待加工的資訊系統,它主要由條件資訊、目標資訊和運算資訊三部分構成。理解和感知數學問題中的資訊元素是解決問題的第一步。這一步主要是要求實施者明確問題所提供的條件資訊和目標資訊。
對數學問題基本資訊的感知要做到全面而完整,特別是對那些綜合性強、關係複雜的問題,要注意發現問題中的隱性資訊,充分挖掘有用的資訊,這對問題解決的順利實施具有重要的意義。例如,在問題“大數和小數的差是80.1,小數的小數點向右移一位,剛好與大數相等。大數和小數各是多少”中,大數和小數之間的倍數關係這一重要條件資訊沒給出,而隱藏在“小數點向右移”一句話中,需要學生自己去發現。
二、確定求解方案
在第一步理解分析條件資訊、目標資訊的前提下,在頭腦中已初步形成了數學問題的初始狀態,及要解決的問題的目標狀態。這時,解決者的思維就要進一步深入,提煉數學問題中存在的顯性的或隱性的有用資訊,連結各資訊間的運算資訊,選擇解題方法,制定合理的求解計劃,這是實現問題解決的最關鍵一步。這一過程由一組複雜的心理活動組成,一般要連續完成以下幾方面的任務。
1.類化問題資訊。一切數學問題的解決過程總是將未知的新問題不斷地轉化成已知的問題的過程,這是解決數學問題的基本策略。在這一環節就是把數學問題中呈現的主要資訊同解決者原有認知結構中的相關知識和方法連線起來,並以這些已認知的知識和方法作為解決新問題的依據和基礎,重新組合演化成解決新問題所需的新策略。
2.尋找解題起點。解決問題的切入點往往有所不同,具有因人而異的相對靈活性。如在解決例1時,學生一般都會想到從求科技書入手,求出前後科技書本數之差即可;另外,學生想到問題中隱含著文藝書的本數是一個穩定的不變數,只要抓住文藝書這一柺棍,求出前後總本數的差,此問題就能順利獲解。這一思路的解題起點就要從求出原來文藝書有多少本開始。如果學生只能順著已知資訊的思路,順向思維來解決問題,這時學生的思維起點就會想到設出未知數,用方程解。具體從什麼地方入手去解決問題,要根據不同數學問題的性狀和學生擅長的思維習慣及個體思維能力而定,不能定式地一概而論。
3.確定解題步驟。確定解題步驟是指學生在頭腦裡整理出解決問題的詳細操作程式,即確定先求什麼,再求什麼,最後求什麼,這裡只要求學生能在頭腦中初擬即可,無需寫出書面的解題計劃。這一環節,放在整個解決問題的思維過程中來審視,主要是完成如何確定解題思維發展脈絡的問題,在前面已確定的解題起點的基礎上,進一步理清完善整個解題思維沿著什麼方向進展下去,以保證解題時思維能朝著數學問題目標資訊的方向順利進行,而不至於偏離思維的主航道,影響目標資訊的最後獲解。
三、實施問題解答
實施問題解答就是將前面制定的解題計劃付諸實施,使問題達到目標狀態。這裡提倡學生能用不同的方法來解決問題,數學新課標中提及:“學生要能探索出解決問題的有效辦法,並試圖尋找其他方法。”所以,這一環節學生承接第二步驟的思考,運用已類化的策略,從某一思維起點出發,按照既定的解題思路,對數學問題實施有序地推導、運算,直到得出正確的問題目標結果為止。
這一步既是一個執行解題計劃的過程,同時也是一個檢驗和修正解題計劃的過程。解題時若發現前面制定的求解方案和解題思路不當或不簡便,在實施解答的過程中要及時加以修正,儘量靠近合理的路子,以減少解題過程的失誤,使問題能較順利地達成目標狀態。
四、反思解題過程
數學問題獲得求解,並不代表整個解題過程的終結,還需對上述整個解決問題的過程作明晰的`反思,看解題過程是否合理、簡便,結果是否正確。更要從解決問題的策略方面來整理思路、提升認識,讓合理、有效的解題策略豐富自身解決問題的策略庫。這一環節,可做好下面兩方面內容。
1.檢驗求解結果。將數學問題的求解結果返回到實際問題中去進行檢驗,看它是否與實際問題情形相吻合,從而更加確定求解結果的準確性。
2.評價解題策略。《數學新課標》提出:“學生要具有回顧與分析解決問題過程的意識。”所以在問題解決以後,還要主動對求解過程進行反思,特別是對問題解決過程中的思維策略進行評價,分析甑別多種策略中較為合理的方法,提煉解決同類問題常用的一般策略。如果解決過的問題是一個具體問題(如例1),就可引導學生通過歸納、類比和演化,得到普遍的思維方式,形成解決問題的新策略,以期成為解決其它數學問題的又一源動力。
解決問題的過程,是從條件資訊應用一定的運算資訊尋求目標資訊的過程,由於問題解決中的問題是學習者從未遇到過的新問題,在學生看來,數學資訊間的內在聯絡是錯綜複雜的,所以必須依據一定的思維路徑,有序地探尋新的問題解決的方法與途徑,至少要對已知的解題方法、途徑重新組合,即要尋求合適的新策略。問題一旦得到解決,學生又可以通過問題解決的過程學到新的解決問題的策略,這些新的策略又成為解決其它新問題的已知策略,在這一解決問題的過程中,學生的潛能無形中得到了充分發揮。